« De l'impossibilité de la place Pinel »

mercredi, 16 juin 2004

De l'impossibilité de la place Pinel

La place Pinel est en partie occupée par une école municipale. Celle-ci est en forme de L et délimite les bords Nord et Nord-ouest du lieu. Dans le creux du L ont été plantés 6 platanes ; 6 platanes dans la cour de l'école. Le bord Est est occupé par un terrain de boule dans lequel des enfants jouent à la balle. Ce terrain est délimité par deux rangées, l'une comptant 6 platanes et l'autre en comptant 7. Le long du grand bord extérieur de l'école, c'est-à -dire, le long du bord nord de la place sont alignés 10 platanes. Le reste de la place est occupé par le kiosque, le terrain de jeux et notamment son dauphin, par une succession de bancs délimitant d'improbables allées cernant quelques herbes formant pelouse, gravier,
poubelle. Grille. Il y a là 11 platanes en allée bordante sud, suivis parallèlement de 6 et perpendiculairement de 8. On compte encore 20 tilleuls et 1 arbre à feuilles persistantes clouant l'angle Sud-Est.

Il y a donc 54 platanes place Pinel. Le jardinier, géniteur de la place Pinel, planteur des platanes a donc conçu l'idée de répartir 54 platanes, non pas 53, ni 55, mais 54 platanes selon la partition suivante :

54 = 10+6+7+6+11+6+8.

Il y a exactement 26226 partitions de 54 en une suite croissante d'au plus 7 entiers positifs comme celle-ci. C'est facile à calculer, il suffit de considérer la fonction génératrice du nombre de partitions en 7 sommants. C'est une fraction rationnelle qui se calcule aisément... On laissera là ces considérations bien connues.

Parmi ces 26226 possibilités de partitions, le jardinier de la place Pinel en a donc choisi une. Où peut-être a-t-il procédé à l'inverse. Un jardinier paysagiste dessine l'espace. Son dessin de la place Pinel, sa mise en morceaux, lui a donné 7 paquets dont il a décidé d'obtenir 54 graines... de platanes. Il a donc planté 54 platanes dans ce qui allait devenir la place Pinel sans plaque (cf. ici).

Le kiosque de la place Pinel raisonne. Il faut se coucher là , regarder les colonnes, faire converger son regard vers le foyer de son dôme. Il faut jouer du bozobozo et écouter son souffle. Enfin... le mélange de son souffle collé au sien dans l'intimité du sol de la place Pinel.

Le kiosque de la place Pinel est en 9. On y monte 7 marches puis le son s'emprisonne. Des 10 colonnes, on ne peut s'évader qu'au Nord. Entre ces colonnes 9 barrières s'entrelacent en bouts de 9 barreaux.

Le kiosque de la place Pinel est donc antépinélien. Les platanes sont visiblement distribués autour du 9. 6,7,8. Le 9 est central. 10, 11. Il est évité par les arbres formant place. Mais les arbres l'entourent. Le neuf est clos, on y rentre par le nord, le son y pénètre et s'entoure.

Au début, j'ai compté 52 platanes place Pinel. Quel ne fût pas mon trouble! J'en concluais que le jardinier connaissait Fermat. 52 est le double de 26. vingt six, ce nombre impossible, unique nombre au dessus du carré mais en dessous du cube. Unique entier entre l'aire et le volume. Ce nombre ne devrait pas exister, il devrait être interdit de placer 26 fois notre bon "un" entre nos pieds, notre plat à nous, et notre main, espace. Non, Pinel, 26, impossible! Pinel se disait alors impossible. Pinel disait "comptez mes platanes, vous verrez, je n'existe pas!" Pinel a l'arrogance du Ï€. Pinel ne peut pas se nier. Le Ï€, quoi faire sans Ï€? Sans transcendance. Sans cette quadrature du cercle qui n'en finira jamais d'être impossible. On le sait, c'est prouvé. Quel repos! Non, ça ne colle pas. La place Pinel est un trouble, une résonance obscure, une abîme. Place Pinel, on se perd. Les portes faites pour être fermées restent fermées mais la clé reste dans la serrure. Place Pinel, on ne perd pas les clés, elles se perdent à nous. Place Pinel, on ne perd pas, l'objet part et nous perd. Ce double renversement, ce carré de mise en abîme, c'est le 26. C'est cet interstice impossible entre carré et cube, ce creux sous les deux pieds du Ï€ qui manque d'air et d'elle. Relié par n en forme de kiosque. Et puis... Quand même, il y a le 26226! 26, par deux fois accolé. Dissymétrique. Et puis aussi 75 arbres en tout, place Pinel. 75, trois fois 25, mais il y a 54 platanes, 54, deux fois 27. Disymétrie. Double abîme absolu et parfait. C'en est trop.

La place Pinel est 26. Elle n'existe donc pas.

Remarquons que dans la preuve qui précède, nous avons implicitement fait usage du théorème suivant, que nous rappelons ici tout en tachant d'en donner une démonstration.

Théorème (Fermat): Il existe un unique entier n strictement positif tel que n-1 est un carré et n+1 est un cube. Ce nombre n vaut 26.

Preuve : Il s'agit donc de trouver un entier y strictement positif tel que y²+2 soit un cube. Autrement dit, nous sommes ramenés à la recherche de solutions entières de la cubique de Weierstrass y²=x³-2. Travaillons dans l'anneau quadratique imaginaire Z[Î¶] où Î¶ vérifie Î¶²+2=0. Cet anneau est principal, ce qui n'a rien d'évident, mais ceci se démontre facilement dans le cas des anneaux quadratiques imaginaires. Rappelons au passage qu'il n'y a qu'un nombre fini d'anneaux quadratiques imaginaires principaux. L'équation se factorise alors sous la forme :

y²=(x-Î¶)(x+Î¶).

Prenons donc (x,y) une solution entière. Le pgcd de x-Î¶ et x+Î¶ divisant 2Î¶=Î¶³, il vient par factorialité que x+Î¶ s'écrit sous la forme z³, ou 2z³ ou encore Î¶z³, il en est de même pour son conjugué x-Î¶. Or la norme de x+Î¶ valant y², celle-ci est donc entière ce qui impose que x+Î¶ = z³. En écrivant z sous la forme a+Î¶b, on obtient que 2Î¶=x+Î¶-(x-Î¶) = 2Î¶b(3a²-2b²). Ceci implique que a vaut plus ou moins 1 et que b vaut plus ou moins 1, et on obtient que x vaut 3 et y vaut plus ou moins 5.

Cela va de soi que Denis Favennec donnera une preuve de ce théorème à l'aide des développements en fractions continues. Et Yves Le Pestipon conclura de tout cela que Ouaknine s'est trompé.

Emmanuel Riboulet-Deyris | 23:54 dans Place Pinel

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